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众鑫国际空间向量怎样过定点求平面法向量

  引言:本节课介绍平面法向量的三种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法,因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入,将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确,那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。

  1、定义:如果 ,那么向量 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有两大类(从方向上分),无数条。

  方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中,设平面 的法向量 [或 ,或 ],在平面 内任找两个不共线的向量 。由 ,得 且 ,由此得到关于 的方程组,解此方程组即可得到 。

  方法二:任何一个 的一次次方程的图形是平面;反之,任何一个平面的方程是 的一次方程。 ,称为平面的一般方程。其法向量 ;若平面与3个坐标轴的交点为 ,如图所示,则平面方程为: ,称此方程为平面的截距式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量。

  方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量,其外积 为一长度等于 ,(θ为 , 两者交角,且 ),而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」,也就是右手四指由 的方向转为 的方向时,大拇指所指的方向规定为 的方向, 。

  (2)、求面面角:设向量 , 分别是平面 、 的法向量,则二面角 的平面角为:

  两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定,在图2-2中, 的方向对平面 而言向外, 的方向对平面 而言向内;在图2-3中, 的方向对平面 而言向内, 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角 的平面角。

  (1)、证明线中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线)、众鑫国际,证明线中, 向是平面 的法向量, 是直线a的方向向量,证明平面的法向量与直线所在向量垂直( )。

  (3)、证明面面垂直:在图2-10中, 是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量垂直( )

  (4)、证明面面平行:在图2-11中, 向是平面 的法向量, 是平面 的法向量,证明两平面的法向量共线( )。

  解:以A点为原点,以分别以AD,AB,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.

  解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.

  (1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线,注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用,建立右手系),用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)

  (2)、通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)

  a展开全部用向量的外积来做,先选两个面上的不共线的向量,然后做外积即可.关于外积怎么做,可以参考大学一年级的解析几何.


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